موسوعة القواعد الرياضية:الثامنة الى الثالثة ثانوي

الفرق بين الحساب والجبر

الرياضيات ليست مجرد أرقام جامدة، بل هي علم واسع يتفرع إلى مجالات مختلفة تساعدنا على فهم العالم من حولنا. ومن بين هذه المجالات يبرز الحساب والجبر، وهما ركنان أساسيان في الرياضيات، يبدوان متشابهين للوهلة الأولى، لكن بينهما اختلافات جوهرية تجعل كل واحد منهما يكمّل الآخر.

الحساب هو البداية، وهو ما يتعلّمه الطفل منذ السنوات الأولى: العدّ، الجمع، الطرح، الضرب، القسمة. أما الجبر فهو خطوة أكثر تجريدًا وتقدّمًا، إذ يُدخل الرموز والمتغيّرات ليُعلّمنا كيفية البحث عن المجهول وإيجاد العلاقات بين الأعداد. لفهم الفرق بوضوح، تأمل الجدول التالي:

الجانب	الحساب (Arithmetic)	الجبر (Algebra)
التعريف	فرع من الرياضيات يهتم بالعمليات الأربع على أعداد محدّدة.	فرع من الرياضيات يوسّع الحساب باستخدام الرموز والمتغيّرات.
المجال	الأعداد المعلومة فقط.	الأعداد المعلومة + الرموز المجهولة.
الهدف	إيجاد ناتج عمليات عددية مباشرة.	إيجاد المجهول، دراسة العلاقات، تبسيط العبارات.
مثال	25 + 37 = 62	x + 5 = 12 ⟹ x = 7

يتضح من الجدول أن الحساب يرتبط أكثر بحياتنا اليومية: جمع أثمان السلع، تقسيم المبالغ، أو معرفة الوقت. بينما الجبر يرتبط أكثر بالقدرة على التفكير المجرد وحل المشكلات، وهو أساس العلوم الحديثة مثل الفيزياء والهندسة والبرمجة.

الخلاصة:
الحساب = عمليات مباشرة على أعداد معلومة.
الجبر = تعميم للحساب يشمل الرموز والمجهولات والعلاقات.

📚 فهرس الموسوعة

• ➤ السنة الثامنة أساسي
• ➤ السنة التاسعة أساسي
• ➤ السنة الأولى ثانوي
• ➤ السنة الثانية ثانوي
• ➤ السنة الثالثة ثانوي

📘 السنة الثامنة أساسي

📘 موسوعة القواعد الرياضية

هذا الجزء يجمع كل القواعد الأساسية في الرياضيات التي يدرسها التلميذ في السنة الثامنة أساسي في الحساب والجبر والهندسة والهندسة الفضائية، مع بعض الأمثلة التوضيحية ليستعملها كمرجع شامل.

➊ الحساب

• الأعداد النسبية: يمكن جمعها وطرحها وضربها وقسمتها حسب القواعد العادية.
• الأولوية في العمليات: الأقواس → القوى → الضرب والقسمة → الجمع والطرح.
• القوى:
  • a^m × aⁿ = a^m+n
  • a^m ÷ aⁿ = a^m−n
  • (a^m)ⁿ = a^m×n
  • (ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ
  • (a/b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ
• الجذور التربيعية: √(a²) = a (لـ a ≥ 0).
• النسب المئوية:
  • النسبة = (الجزء ÷ الكل) × 100%

مثال: 3⁴ ÷ 3² = 3² = 9

➋ الجبر

• النشر والتبسيط: باستعمال خاصية التوزيع.
• المطابقات الهامة:
  • (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • (a - b)² = a² - 2ab + b²
  • (a + b)(a - b) = a² - b²
• المعادلات من الدرجة الأولى:
  • ax + b = 0 ⇒ x = -b/a
  • يمكن حل المعادلة بعزل x.
• المتراجحات البسيطة:
  • إذا a > b فإن a + c > b + c
  • إذا a > b و c > 0 فإن ac > bc
  • إذا a > b و c < 0 فإن ac < bc

مثال: (x + 3)(x - 3) = x² - 9

➌ الهندسة المستوية

• المثلث:
  • مجموع زوايا المثلث = 180°.
  • مثلث قائم: فيثاغورس → (الوتر)² = (الضلع1)² + (الضلع2)².
  • مثلث متساوي الساقين: زاويتان متساويتان عند القاعدة.
  • مثلث متساوي الأضلاع: جميع الأضلاع والزوايا متساوية.
• المستقيمات:
  • مستقيمان متعامدان: يشكلان زاوية 90°.
  • مستقيمان متوازيان: لا يلتقيان أبدًا.
• الأشكال الهندسية:
  • محيط المستطيل = 2(L + l)
  • مساحة المستطيل = L × l
  • مساحة المثلث = (القاعدة × الارتفاع)/2
  • مساحة الدائرة = πr²
  • محيط الدائرة = 2πr

مثال: مثلث قائم في A، طولا ضلعي الزاوية القائمة 6cm و8cm ⇒ الوتر = √(6²+8²) = 10cm

➍ الهندسة الفضائية

• المكعب:
  • الحجم = a³
  • المساحة الجانبية = 4a²
  • المساحة الكلية = 6a²
• المتوازي المستطيلات:
  • الحجم = L × l × h
  • المساحة الكلية = 2(Ll + Lh + lh)
• الأسطوانة القائمة:
  • الحجم = πr²h
  • المساحة الجانبية = 2πrh
  • المساحة الكلية = 2πr(r + h)
• الهرم القائم:
  • الحجم = (مساحة القاعدة × الارتفاع)/3
• المخروط الدائري القائم:
  • الحجم = (πr²h)/3
  • المساحة الجانبية = πrl (حيث l هو راسم المخروط)
• الكرة:
  • الحجم = (4/3)πr³
  • المساحة = 4πr²

مثال: أسطوانة نصف قطرها 3cm وارتفاعها 10cm ⇒ حجمها = π×3²×10 = 90π cm³

📚 فهرس الموسوعة

• ➤ السنة الثامنة أساسي
• ➤ السنة التاسعة أساسي
• ➤ السنة الأولى ثانوي
• ➤ السنة الثانية ثانوي
• ➤ السنة الثالثة ثانوي

📗 السنة التاسعة أساسي

📘 موسوعة القواعد الرياضية

في هذا الجزء نجمع كل القواعد الأساسية التي يدرسها التلميذ في السنة التاسعة أساسي في الحساب والجبر والهندسة والهندسة الفضائية، مع أمثلة بسيطة لتوضيح الاستعمال.

➊ الحساب

• القوى والجذور:
  • خصائص القوى كما في السنة الثامنة.
  • الجذر التربيعي: √(a²) = |a|
  • الجذر التكعيبي: ∛(a³) = a
• النسب المئوية والزيادة/النقصان:
  • القيمة بعد زيادة بنسبة t% = القيمة الأصلية × (1 + t/100)
  • القيمة بعد نقصان بنسبة t% = القيمة الأصلية × (1 − t/100)
• النسبة والتناسب: إذا a/b = c/d فإن ad = bc

مثال: ثمن سلعة 100 دينار، ارتفع بـ 15% ⇒ الثمن الجديد = 100 × 1.15 = 115 د.

➋ الجبر

• النشر والتبسيط: تعميم استعمال المطابقات الهامة.
• المعادلات من الدرجة الأولى: ax + b = cx + d ⇒ (a − c)x = d − b
• المعادلات من الدرجة الثانية:
  • الشكل: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
  • Δ = b² − 4ac
  • إذا Δ > 0 ⇒ للمعادلة حلان: x₁ = (−b − √Δ)/(2a)، x₂ = (−b + √Δ)/(2a)
  • إذا Δ = 0 ⇒ للمعادلة حل واحد: x = −b/(2a)
  • إذا Δ < 0 ⇒ لا حلول في ℝ
• المتراجحات من الدرجة الأولى: بنفس قواعد السنة الثامنة مع استعمال الجداول.

مثال: حل المعادلة x² − 5x + 6 = 0 ⇒ Δ = 25 − 24 = 1 ⇒ الحلول: x₁=2، x₂=3

➌ الهندسة المستوية

• الدائرة:
  • زاوية محيطية تساوي نصف الزاوية المركزية المشتركة معها.
  • إذا كان مثلث مرسوم داخل دائرة وقطره أحد أضلاعه ⇒ المثلث قائم.
• التحاكي (التشابه):
  • شكلان متشابهان ⇒ زواياهما متقايسة وأضلاعهما متناسبة.
  • النسبة (k) = (طول في الشكل الثاني) ÷ (الطول الموافق له في الشكل الأول).
• مبرهنة فيثاغورس العكسية: إذا كان في مثلث: c² = a² + b² ⇒ المثلث قائم.

مثال: مثلث قائم مرسوم داخل دائرة قطرها [AB] ⇒ الزاوية عند C هي 90°.

➍ الهندسة الفضائية

• المنشور القائم:
  • الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع
• الهرم:
  • الحجم = (مساحة القاعدة × الارتفاع)/3
• المخروط الدائري القائم:
  • الحجم = (πr²h)/3
  • المساحة الجانبية = πrl
• الكرة:
  • الحجم = (4/3)πr³
  • المساحة = 4πr²

مثال: حجم كرة نصف قطرها 2cm = (4/3)π×2³ = (32/3)π cm³

📚 فهرس الموسوعة

• ➤ السنة الثامنة أساسي
• ➤ السنة التاسعة أساسي
• ➤ السنة الأولى ثانوي
• ➤ السنة الثانية ثانوي
• ➤ السنة الثالثة ثانوي

📕 السنة الأولى ثانوي

📘 موسوعة القواعد الرياضية

في هذا الجزء نلخص جميع القواعد الأساسية التي يدرسها التلميذ في السنة الأولى ثانوي في الحساب والجبر والهندسة والهندسة الفضائية، مع أمثلة قصيرة توضح طريقة الاستعمال.

➊ الحساب

• القوى والجذور:
  • a^p/q = ∛(a^p) (الجذور من رتبة q).
  • √(ab) = √a × √b (إذا a,b ≥ 0).
  • √(a/b) = √a ÷ √b (إذا a,b ≥ 0).
• القيمة المطلقة:
  • |x| = x إذا كان x ≥ 0.
  • |x| = −x إذا كان x < 0.
• المتراجحات البسيطة: استعمال الجداول لحلها.

مثال: |−5| = 5

➋ الجبر

• النشر والتبسيط: تعابير جبرية أعقد من السنة التاسعة.
• المعادلات من الدرجة الثانية: باستعمال Δ كما في السنة التاسعة.
• المعادلات من الشكل x² = a:
  • إذا a ≥ 0 ⇒ الحلول: x = ±√a.
  • إذا a < 0 ⇒ لا حلول في ℝ.
• المعادلات الجذرية البسيطة: بإزالة الجذر بعد التربيع.
• الدوال:
  • الدالة الخطية: f(x) = ax (a ثابت).
  • الدالة affine: f(x) = ax + b.
  • مميزاتها: التمثيل البياني مستقيم.

مثال: حل x² = 9 ⇒ x = ±3

➌ الهندسة المستوية

• المثلثات والدائرة:
  • مبرهنة طالس: إذا كان (MN) ∥ (BC) في مثلث (ABC) ⇒ AM/AB = AN/AC.
  • مبرهنة طالس العكسية: إذا تحقق التناسب ⇒ (MN) ∥ (BC).
  • مبرهنة فيثاغورس: كما في الثامنة والتاسعة.
• التحاكي (التشابه):
  • إذا كان للشكلين نفس الزوايا المتناظرة متقايسة ⇒ الشكلان متشابهان.
  • النسبة k تستعمل لربط الأطوال والمساحات والأحجام.
• المستقيمات والزوايا:
  • زاويتان متبادلتان داخليتان (عند تقاطع مستقيمين متوازيين مع قاطع) ⇒ متساويتان.
  • زاويتان متناظرتان ⇒ متساويتان.

مثال: إذا كان (MN) ∥ (BC) في مثلث ABC ⇒ AM/AB = AN/AC

➍ الهندسة الفضائية

• المكعب ومتوازي المستطيلات:
  • الحجم = L × l × h
  • قطر المكعب = a√3
• الأسطوانة: الحجم = πr²h
• المخروط: الحجم = (πr²h)/3
• الكرة:
  • الحجم = (4/3)πr³
  • المساحة = 4πr²
• نسبة الأحجام: إذا كان للشكلين نفس الشكل ونسبة التشابه k ⇒ نسبة الأحجام = k³.

مثال: طول حرف مكعب = 4cm ⇒ حجمه = 4³ = 64 cm³

📚 فهرس الموسوعة

• ➤ السنة الثامنة أساسي
• ➤ السنة التاسعة أساسي
• ➤ السنة الأولى ثانوي
• ➤ السنة الثانية ثانوي
• ➤ السنة الثالثة ثانوي

📙 السنة الثانية ثانوي

موسوعة القواعد الرياضية

هذا الجزء الرابع يقدّم جميع القواعد الحسابية، الجبرية والهندسية المقرّرة في السنة الثانية ثانوي (نظام تعليمي تونسي). تم تنظيمها بشكل موسوعي مع أمثلة تطبيقية وتمارين وحلول مخفية.

أولاً: القواعد الحسابية

• المتتاليات الحسابية والهندسية:
  • متتالية حسابية: un+1 = un + r
  • متتالية هندسية: un+1 = un × q
  • الحد العام للمتتالية الحسابية: un = u0 + n·r
  • الحد العام للمتتالية الهندسية: un = u0 × qn
• المجموع:
  • مجموع أول n حدود من متتالية حسابية: Sn = (n/2)(u0 + un)
  • مجموع أول n حدود من متتالية هندسية: Sn = u0 (1 - qn) / (1 - q), إذا q ≠ 1
• المتطابقات الشهيرة (تذكير + توظيف في حدود أعلى):
  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
  • (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

ثانياً: القواعد الجبرية

• المعادلات والمتراجحات من الدرجة الثانية:
  • المعادلة: ax2 + bx + c = 0
  • المميز: Δ = b2 - 4ac
  • الحلول:
    • إذا Δ > 0: حلّان حقيقيان مختلفان.
    • إذا Δ = 0: حلّ وحيد مضاعف.
    • إذا Δ < 0: لا حل في ℝ.
• المتراجحات:
  • حلول ax2 + bx + c ≥ 0 أو ≤ 0 باستعمال إشارة Δ وجداول الإشارة.
• الدوال:
  • دالة تربيعية: f(x) = ax2 + bx + c
  • منحنى الدالة: قطع مكافئ محور تناظره x = -b/(2a)
  • إحداثيات الرأس: (-b/(2a), f(-b/(2a)))

ثالثاً: القواعد الهندسية

• الهندسة الفضائية:
  • الحجوم:
    • حجم الأسطوانة: V = πr2h
    • حجم المخروط: V = (1/3)πr2h
    • حجم الكرة: V = (4/3)πr3
  • المساحات:
    • المساحة الكلية للأسطوانة: 2πr(h + r)
    • المساحة الكلية للمخروط: πr(l + r) حيث l هو المولد.
    • المساحة الكلية للكرة: 4πr2
• المثلث القائم:
  • نظرية فيثاغورس: a2 + b2 = c2
  • الدوال المثلثية:
    • sin(θ) = المقابل / الوتر
    • cos(θ) = المجاور / الوتر
    • tan(θ) = المقابل / المجاور

أمثلة تطبيقية

مثال 1: إذا كانت المتتالية الحسابية معرفة بـ u0 = 2 و r = 3، فما هو u5؟

إظهار الحل

u5 = 2 + 5×3 = 17

مثال 2: حل المعادلة: x2 - 5x + 6 = 0

إظهار الحل

Δ = 25 - 24 = 1 ⇒ x1 = 2, x2 = 3

مثال 3: مثلث قائم ضلعاه القائمان 3 و4، جد طول الوتر.

إظهار الحل

c = √(32 + 42) = √25 = 5

تمارين للتدريب

1. أوجد مجموع أول 10 حدود من المتتالية الهندسية: u0 = 2, q = 2.
2. احسب إحداثيات رأس المنحنى: f(x) = 2x2 - 4x + 1.
3. كرة نصف قطرها 7cm، احسب حجمها.
4. في مثلث قائم، إذا كان sin(θ) = 3/5، احسب cos(θ) و tan(θ).

إظهار الحلول

1) S10 = 2(1 - 210)/(1 - 2) = 2(1 - 1024)/(-1) = 2046
2) x = -(-4)/(2×2) = 1 ; f(1) = -1 ⇒ الرأس (1, -1)
3) V = (4/3)π×73 = (4/3)π×343 ≈ 1436π cm³
4) cos(θ) = 4/5 ; tan(θ) = 3/4

📚 فهرس الموسوعة

• ➤ السنة الثامنة أساسي
• ➤ السنة التاسعة أساسي
• ➤ السنة الأولى ثانوي
• ➤ السنة الثانية ثانوي
• ➤ السنة الثالثة ثانوي

📒 السنة الثالثة ثانوي

📘 موسوعة القواعد الرياضية

موسوعة القواعد الجبرية والهندسية والتحليلية – السنة الثالثة ثانوي (نظام تعليمي تونسي)

1- التحليل الرياضي

• الدوال العددية:
  • دوال الأسس واللوغاريتم.
  • الدوال المثلثية (sin, cos, tan) وتحويلاتها.
  • دوال كثيرة الحدود والكسور.
• الاشتقاق:
  • قواعد الاشتقاق: (u+v)'، (uv)'، (u/v)'، (f(g(x)))'.
  • مشتقات الدوال الأساسية:
    • (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
    • (eˣ)' = eˣ
    • (ln(x))' = 1/x
    • (sin x)' = cos x
    • (cos x)' = -sin x
    • (tan x)' = 1/cos²x
  • تطبيقات: دراسة التغيرات، المماسات.
• التكامل:
  • ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (n≠-1)
  • ∫1/x dx = ln|x| + C
  • ∫eˣ dx = eˣ + C
  • ∫cos x dx = sin x + C
  • ∫sin x dx = -cos x + C
  • حساب المساحات تحت المنحنى.

2- التحليل العددي والمتتاليات

• المتتاليات:
  • المتتالية الحسابية: U_n = U₀ + n·r
  • المتتالية الهندسية: U_n = U₀·qⁿ
  • مجموع n حدود متتالية حسابية: S_n = n(U₀ + U_n)/2
  • مجموع n حدود متتالية هندسية: S_n = U₀(1-qⁿ)/(1-q)
  • نهايات المتتاليات (التقارب/التباعد).
• النهايات:
  • lim (x→+∞) (1/x) = 0
  • lim (x→+∞) (1 + 1/x)ˣ = e
  • lim (x→0) (sin x)/x = 1
  • lim (x→0) (1-cos x)/x² = 1/2

3- الهندسة الفضائية

• المتجهات في الفضاء:
  • الجداء السلمي: u·v = |u||v|cosθ
  • الجداء الشعاعي: u × v (يعطي متجهاً عمودياً على المستوي).
  • معادلة مستقيم: x = x₀ + at، y = y₀ + bt، z = z₀ + ct
  • معادلة مستوى: ax + by + cz + d = 0
• المسافات والزوايا:
  • المسافة بين نقطتين A(x₁,y₁,z₁) وB(x₂,y₂,z₂): √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²)
  • زاوية بين مستقيمين أو بين مستقيم ومستوى باستعمال الجداء السلمي.

4- الإحصاء والاحتمالات

• الإحصاء:
  • المتوسط الحسابي: (Σxᵢ·nᵢ)/(Σnᵢ)
  • الانحراف المعياري: √(Σnᵢ(xᵢ - x̄)² / Σnᵢ)
• الاحتمالات:
  • P(A) = |A|/|Ω|
  • P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
  • P(A∩B) = P(A)·P(B) إذا كان الحدثان مستقلين.
  • قوانين التوافيق والتوافيق: C_n^k = n! / (k!(n-k)!)

5- الجبر

• حل المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى والثانية والثالثة.
• المصفوفات والحساب عليها (الجمع، الضرب، المصفوفة العكسية).
• الحلول النظامية للمعادلات الخطية باستعمال المصفوفات.

✅ تمارين تطبيقية مختارة

1. أوجد نهاية المتتالية U_n = (2n+1)/(n+3).
2. احسب ∫ (2x+3) dx.
3. أوجد معادلة المماس للمنحنى y = ln(x) عند النقطة (1,0).
4. أوجد احتمال سحب ورقة حمراء من مجموعة أوراق تتكون من 52 ورقة.

📚 وبهذا يكتمل مشروع الموسوعة: من السنة الثامنة أساسي إلى السنة الثالثة ثانوي لتكون مرجعًا متكاملاً للطالب التونسي في مساره الدراسي.اي استفسار اتصل بنا؟.